Домой

Четверг, 18 августа 2005 г




НазваниеЧетверг, 18 августа 2005 г
страница1/4
Дата28.01.2013
Размер0.61 Mb.
ТипДокументы
Содержание
Сведения об авторе
«трансфинитный рай» георга кантора
1. Психологический антураж проблемы.
Аксиома аристотеля
Аксиома кантора
2. «над пропастью во лжи ...»
Ложь-1. «математика – королева всех наук
Ложь-2. самая эффективная pr-акция в истории науки.
Ложь-3. необходимые
Ложь-4. если конкурент не сдается, его уничтожают.
D1) определение пб
D2) аксиоматическое определение пб
4. Миф о сложности дмк-доказательства
Ложь 5. сложность дмк-доказательства
5. Теорема кантора о несчетности континуума
Теорема кантора (1890).
1), вторая двоичная цифра d2 есть вторая двоичная цифра x22 второго д.ч. x2 из списка (1
6. Мета-математическая логика дмк
1), а Y1 есть дополнение к X1 в X, т.е. Y1 = X – X1. В силу допущения B
Случай 1. y
...
Полное содержание
Подобные работы:
  1   2   3   4

четверг, 18 августа 2005 г.

«ТРАНСФИНИТНЫЙ РАЙ ГЕОРГА КАНТОРА:

БИБЛЕЙСКИЕ СЮЖЕТЫ НА ПОРОГЕ АПОКАЛИПСИСА»


АННОТАЦИЯ

Автор: А.А.Зенкин.

В данной статье анализируются некоторые эпистемологические дефекты логики канторовского доказательства несчетности континуума с помощью диагонального метода Кантора (ДМК), основанного на концепции актуальной бесконечности (АБ). В частности, рассматриваются логические и психологические причины неприятия концепции АБ такими выдающимися философами, логиками и математиками, как Аристотель, Евклид, Лейбниц, Кант, Гаусс, Кронекер, Пуанкаре, Вейль, Борель, Брауэр, и многими другими.

В современной Аксиоматической Теории Множеств (АТМ), которая претендует на абсолютную строгость своих рассуждений, до сих пор отсутствует строгое, формальное определение базового понятия АБ, что делает беспредметными любые дискуссии о легитимности этого понятия. Впервые (в соавторстве с Аристотелем) дается строгое, аксиоматическое определение понятия потенциальной бесконечности (ПБ) и понятия АБ как отрицания ПБ.

Обсуждаются психологические и педагогические последствия уникального мета-математического открытия, суть которого состоит в том, что знаменитый ДМК является специфической версией метода контр-примера, кстати, хорошо известного Пифагору и Евклиду. Это открытие ставит под сомнение профессионализм адептов современной АТМ и рекламируемую ими «непорочность» канторовского ДМК-доказательства несчетности континуума. На основе анализа этого ДМК-доказательства впервые реализовано строгое доказательство противоречивости понятия АБ.

Коротко обсуждаются негативные последствия бурбакизации (термин академика В.И.Арнольда), т.е. излишней, ненужной, бессмысленной, оглупляющей, отупляющей и зомбирующей формализации математики и математического образования.

Показано, что знаменитый парадокс «Гранд Отель» Д.Гильберта является дедуктивной моделью (в смысле А.Тарского) ДМК-доказательства несчетности континуума Г.Кантора. На основании этой модели доказано, что ДМК-доказательство Теоремы Кантора является некорректным с точки зрения классической логики. Это означает, что несчетных множеств не существует и все бесконечные множества имеют одинаковую мощность. В таком случае все «Учение о трансфинитном» Г.Кантора лишается смысла. В частности, отсюда следует новый и, по-видимому, самый драматический парадокс теории множеств: еще 80 лет тому назад Д.Гильберт, сам того не ведая, с помощью парадокса «Гранд Отель» опроверг свое собственное эпохальное заявление о том, что «никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором». К сожалению, этого не понял ни сам Гильберт, ни его многочисленные мета-математические эпигоны.

В заключение анализируется Библейское предостережение «строителям трансфинитной лестницы на небо» (Вавилонской Башни-2): в послании Апостола Павла Титу прозрачно закодирована угроза смешения истины и лжи, дабы воспрепятствовать указанному «строительству», ведущему к Апокалипсису, а Комиссия РАН по борьбе с лженаукой создана, по замыслу Господа, для того, чтобы официально и навсегда закрыть «трансфинитный рай» Г.Кантора как базу самой коварной лженауки и "заградить уста непокорным, пустословам и обманщикам, которые развращают целые домы, уча, чему не должно, из постыдной корысти".


^ Сведения об авторе:

Профессор Александр Александрович Зенкин, Доктор физико-математических наук,

Ведущий научный сотрудник Вычислительного Центра РАН, Член Российской Ассоциации Искусственного Интеллекта, Философского Общества России и Международной федерации Художников.

e-mail: alexzen77@rambler.ru

WEB-Site http://www.com2com.ru/alexzen/ и http://www.ccas.ru/alexzen/index.html


^ «ТРАНСФИНИТНЫЙ РАЙ» ГЕОРГА КАНТОРА:
БИБЛЕЙСКИЙ СЮЖЕТ НА ПОРОГЕ АПОКАЛИПСИСА.


Зенкин А.А.,

профессор, доктор физ-мат наук, ведущий научный сотрудник

Вычислительного центра РАН, e-mailto: alexzen77@rambler.ru


^ 1. ПСИХОЛОГИЧЕСКИЙ АНТУРАЖ ПРОБЛЕМЫ.


Бесконечность – важнейшая проблема философии и религии, логики и математики, эпистемологии и психологии познания. «С давних пор, - пишет выдающийся немецкий математик Д.Гильберт [1], - никакой другой вопрос так глубоко не волновал человеческую мысль, как вопрос о бесконечном; бесконечное действовало на разум столь же побуждающе и плодотворно, как едва ли действовала какая-либо другая идея; однако ни одно другое понятие не нуждается так сильно в разъяснении, как бесконечность».

И далее: «...окончательное выяснение сущности бесконечного выходит за пределы узких интересов специальных наук и, более того, ... оно стало необходимым для чести самого человеческого разума».

Эти мудрые, выстраданные слова великого математика были сказаны в 1925 г., однако и сегодня выяснение сущности бесконечного остается не менее (если не более) актуальной задачей.

Более двух тысячелетий тому назад Аристотель впервые ввел явное различение двух контрадикторных типов бесконечного – потенциально бесконечное (ПБ) и актуально бесконечное (АБ). Контрадикторность АБ и ПБ Аристотель понимал в том совершенно однозначном смысле, что


ПБ есть НЕ-АБ и АБ есть НЕ-ПБ.


Свое эпистемологическое кредо относительно легитимности указанных типов бесконечности Аристотель сформулировал следующим категорическим образом: «Нет актуальной бесконечности. Бесконечное существует только потенциально» [2].

Аристотель отказал АБ в праве на существование исключительно потому, что как логик считал понятие АБ внутренне противоречивым.

В разное время, на протяжении тысячелетий и до наших дней, негативную точку зрения Аристотеля на легитимность понятия АБ разделяли и поддерживали выдающиеся философы, логики и математики. Вот далеко не полный список лишь некоторых из них (чтобы прочувствовать вселенский драматизм ситуации, читать этот Список следует очень медленно и очень внимательно!).


СПИСОК-1. ПРОТИВНИКИ АБ (они же, начиная с Кронекера, - анти-канторианцы):

Аристотель, Евклид, Лейбниц, Беркли, Локк, Декарт, Кант, Спиноза, Лагранж, Гаусс, Кронекер, Лобачевский, Коши, Ф.Клейн, Эрмит, Пуанкаре, Бэр, Борель, Брауэр, Куайн, Виттгенштейн, Вейль, Лузин, и уже в наши дни - Эррет Бишоп, Соломон Феферман, Ярослав Перегрин, Владимир Турчин, Петр Вопенка и многие другие выдающиеся создатели классической (т.е. работающей и сегодня) логики и классической (т.е. работающей и сегодня) математики в целом.


Следует заметить, что начиная с Кронекера, т.е. примерно с 70-х г.г. XIX века, протест против использования АБ в математике принял форму резко негативного отношения к теории множеств Георга Кантора, основанной на концепции АБ [3]. Так, например, великий французский математик Анри Пуанкаре, который, поначалу, отнесся к теории Кантора весьма благосклонно и даже принял активное участие в переводе основных работ Кантора на французский язык, в начале ХХ века, после обнаружения в этой теории неразрешимых противоречий и парадоксов, резко изменил свое к ней отношение [4] и пришел к выводу, что «нет актуальной бесконечности; канторианцы забыли об этом и впали в противоречия. Следующие поколения будут рассматривать канторовскую теорию множеств как болезнь, от которой наконец-то удалось избавиться» [5]. Один из основателей интуиционизма и современной топологии, Л.Брауэр «разошелся во мнениях» по поводу теории Кантора со своим великим учителем Д.Гильбертом и пришел к еще более радикальному выводу: «канторовская теория в целом представляет собой патологический казус в истории математики, от которого грядущие поколения просто придут в ужас» [6].

Не менее определенно «в пользу» противоречивости АБ и нелегитимности основанной на ней теории множеств высказываются и многие современные профессиональные логики и математики.

Возникает довольно странная ситуация. С одной стороны, начиная с Аристотеля, выдающиеся философы, логики и математики в течение тысячелетий отвергали АБ как понятие внутренне противоречивое. Однако эта противоречивость АБ никогда не была строго доказана и все возражения против использования АБ в математике носили, по преимуществу, декларативный характер, основанный на интуитивных «соображениях»: «Я протестую самым решительным образом против использования бесконечного как чего-то завершенного <АЗ: т.е. как АБ>...» - пишет, например, великий Гаусс в известном письме Шумахеру в 1831 г. И аргументирует свой протест в духе совершенно ему не свойственного «академического негативизма»: «...поскольку это никогда недопустимо в математике. Бесконечное есть всего лишь «фигура речи ...»». Конечно, за этой «аргументацией» стоит огромный профессиональный опыт и гениальная научная интуиция «короля всех математиков», но с точки зрения логики, это всего лишь мнение великого ученого, а не доказательство фактической недопустимости использования АБ в математике.

С другой стороны, в XIX – XX в.в. появилась не менее внушительная плеяда логиков и математиков, которые получили серию выдающихся, эпохальных мета-математических результатов, основанных именно на использовании концепции АБ (известные теоремы Кантора, Тьюринга, Черча, Геделя, Тарского и др. с их парадигмальными философскими «по-следствиями»), причем «существует мнение», что доказательства этих результатов удовлетворяют самым высоким требованиям мета-математической строгости [7 ].

В математике, вообще говоря, не принято возражать против доказанных утверждений (теорем), тем более, возражать на основе чисто интуитивных преференций. Тем не менее и сегодня, как и в начале ХХ века, имеет место быть «великое противостояние» между мета-математической логикой канторианцев, признающих легитимность канторовского «Учения о Трансфинитном» в форме «ненаивной» (см. ниже) версии этого «Учения», т.е. в форме современной аксиоматической теории множеств (далее - АТМ), основанной на (молчаливом – см. далее) использовании концепции АБ, и математической интуицией анти–канторианцев, отвергающих концепцию АБ и на этой концепции основанное «Учение о Трансфинитном» Г.Кантора. Единственное, в чем безоговорочно согласны и канторианцы, и анти-канторианцы, так это в том, что неограниченное использование концепции АБ ведет к парадоксам логики и математики, и до тех пор, пока логическая природа и механизм порождения парадоксальных ситуаций остаются нераскрытыми, «можно, конечно, обнести канторовский трансфинитный рай стенами, предохраняющими от вторжения гнусных антиномий, - пишут Френкель и Бар-Хиллел, имея в виду создание АТМ, но делают при этом очень существенное добавление, - без всякой, однако, уверенности, что некоторые из этих тварей не засели внутри» [6].

При этом «с самого начала следует уяснить, - совершенно справедливо подчеркивают указанные авторы, - что в традиционной трактовке логики и математики нет решительно ничего, что могло бы служить в качестве основы для устранения антиномии Рассела <АЗ: а также парадокса «Лжец»>. Мы полагаем, что любые попытки выйти из положения с помощью традиционных … способов мышления, до сих пор неизменно проваливавшиеся, заведомо недостаточны для этой цели. Некоторый отход от привычных способов мышления явно необходим, хотя место этого отхода заранее не ясно».

Таким образом, раскрытие логической природы парадоксов и вопрос о легитимности использования концепции АБ в математике являются актуальными и сегодня. Один из возможных «нетрадиционных» подходов к решению проблемы парадоксов предложен в [8]. Важнейшим психологическим аспектом указанного противостояния канторианцев и анти-канторианцев является фундаментальная проблема психологии научного познания - проблема соотношения, взаимосвязи и взаимного влияния логики и интуиции в математическом творчестве [5, 9]. Анализ логики Диагонального метода Кантора (далее – ДМК) дает уникальный материал для понимания очень неочевидного характера взаимного влияния логики и интуиции: как будет показано далее, не только интуиция, но и мета-математическая логика при определенных условиях способна вводить в заблуждение наше научное познание.

На мой взгляд, первым шагом на пути к выходу из указанного кризиса является «официальное» признание аксиоматического характера ПБ и АБ [10, 11]. Действительно, строго говоря, Аристотель и его последователи не доказали, что «бесконечное существует только потенциально», равно как и Кантор и его последователи не доказали, что «бесконечное существует актуально». Ситуация «ПБ или АБ» очень напоминает ситуацию с Пятым постулатом Евклида. Как известно, утверждения, которые в математике принимаются без доказательства, называются аксиомами. Это означает, что в математике уже более двух тысячелетий де-факто существует


^ АКСИОМА АРИСТОТЕЛЯ (IV век до н.э.). Все бесконечные множества являются множествами потенциально-бесконечными.


И более ста лет де-факто существует контрадикторная ей


^ АКСИОМА КАНТОРА (XIX век н.э.). Все бесконечные множества являются множествами актуально-бесконечными.


Вся классическая математика основана на аксиоме Аристотеля, вся современная «ненаивная» АТМ основана на аксиоме Кантора, хотя и «молчаливо», т.е. аксиома Кантора ни в одной версии АТМ явно не упоминается (см. ниже).

Очевидно, что явная формулировка Аксиомы Кантора потребует от АТМ восполнить вопиющий (для такой респектабельной науки с официально ею заявленной «претензией на абсолютную строгость» [7]) пробел – отсутствие строгого, формального определения понятия АБ [12] (см. ниже).

Одним словом, явная формулировка Аксиомы Кантора позволит, наконец, «вывести из тени» фундаментальнейшее необходимое условие доказательства основных эпохальных утверждений современной АТМ, претендующих на статус логических и математических теорем (напомню, что отсутствие явной формулировки необходимых условий доказательства математического утверждения является извращенной формой математического невежества), и тем самым впервые сделать эти доказательства доступными для критического анализа их логической легитимности [11, 9, 13].


^ 2. «НАД ПРОПАСТЬЮ ВО ЛЖИ ...»


О какой пропасти пойдет речь, станет ясно из дальнейшего, а сейчас – несколько слов о бурбакизации математики и математического образования.

В середине ХХ века группа известных французских математиков, объединившихся под псевдонимом Н.Бурбаки, вознамерилась дедуцировать всю математику, которая «уже есть» и которая «еще только будет», из аксиом АТМ посредством чисто символических манипуляций «без использования даже единственного слова на естественном языке» [7]). Как всегда, нашлось немало педагогических «энтузиазистов» (термин Е.Петросяна), которые принялись внедрять эту АТМ-«методологию» в математическое образование: достаточно, мол, обучить детишек нескольким формальным аксиомам и правилу modus ponens, - полагали эти «педагогические» АТМ-реформаторы, - как дальше уже без посторонней помощи дети сами начнут дедуцировать любые математические истины в неограниченных количествах и на уровне лучших образцов современной АТМ-науки.

Как известно, подобная АТМ-инициатива породила такое масштабное негативное явление как бурбакизм, т.е. излишнюю, ненужную, бессмысленную, оглупляющую, отупляющую и зомбирующую формализацию математики и математического образования. Характеризуя негативные последствия подобной бурбакизации, выдающийся российский математик и педагог, академик В.И.Арнольд пишет [14-17]:

«В середине ХХ столетия обладавшая большим влиянием мафия "левополушарных математиков" сумела исключить геометрию из математического образования ..., заменив всю содержательную сторону этой дисциплины тренировкой в формальном манипулировании абстрактными понятиями.

Подобное абстрактное описание математики непригодно ни для обучения, ни для каких-либо практических приложений. Современное формализованное (бурбакизированное) образование в математике - полная противоположность обучению умению думать и основам науки. Оно опасно для всего человечества. Будущее математики, инфицированной этой болезнью, выглядит довольно мрачным».

Как известно, любая уважающая себя мафиозная структура стремится создать позитивный имидж «о себе любимой» в глазах «мировой общественности». Как правило – с помощью ссылок на безусловную поддержку любых своих злонамеренных «интенций, товаров и услуг» со стороны «серьезной науки», солиднее всего – РАНовской.

Но поскольку эти «интенции, товары и услуги», как правило, не отвечают высоким требованиям современного просвещенного потребителя, то не обойтись без «небольших искажений» того, что в науке до сих пор было принято называть истиной.

Именно такую PR-технологию взяла на вооружение современная АТМ. И не без успеха. Приведем несколько весьма характерных примеров такой «АТМ-лжи во спасение» канторовского «трансфинитного рая».


^ ЛОЖЬ-1. «МАТЕМАТИКА – КОРОЛЕВА ВСЕХ НАУК,
И АТМ – КОРОЛЕВА МАТЕМАТИКИ»!


В середине XIX века, характеризуя роль и значение математики в интеллектуальном прогрессе рода Homo Sapiens, великий Гаусс гордо провозгласил: «Математика – Королева всех наук, и теория чисел – Королева математики». Спустя полвека, великий Пуанкаре уточнил «эзотерический» смысл этой эпистемологической парадигмы Гаусса: «Теперь в анализе остаются только целые числа или конечные и бесконечные системы целых чисел, связанных между собой сетью отношений равенства или неравенства. Математика, как говорят, арифметизировалась. Сегодня из понятия натурального числа можно вывести всю математику» [5]. Современная АТМ и здесь эффективно работает «на подхвате»: посредством «ненавязчивых» повторов (PR-технология 25-го кадра) она морочит голову профессиональному математическому сообществу и зомбирует молодое поколение математиков: «Действительно, - соглашаются АТМ-адепты, - в начале ХХ века немало выдающихся математиков категорически отвергало АТМ как лже-науку. Но сегодня все споры утихли. А это значит (?!), - утверждают АТМ-адепты, - что современные математики, наконец-то, прозрели по тому поводу, что все бесконечности – актуальны, одумались на тот предмет, что теория конечных натуральных чисел «выводима» из теории трансфинитных чисел, что понятие пустого множества дедуцируется из понятия актуально-бесконечного множества, что вся современная математика может быть выведена из АТМ и официально признали, что «Математика – Королева всех наук, и АТМ – Королева Математики»! Все вчерашние противники АТМ сегодня согласны с тем, что АТМ является выдающимся достижением современной математики, достижением, которое изменило лицо всей математики ХХ века» [1, 7, 18, 20,].

«Это есть эмпирический факт, - уже в наши дни дружно зомбируют научное сообщество Мартин Дэвис и Ройбен Херш, - что около 90% работающих математиков приняли канторовскую теорию множеств, как в теории, так и практически, до некоторой степени» [21].

Примечание «до некоторой степени» говорит о многом, но тем не менее, не совсем понятно, какие методы были использованы указанными выдающимися АТМ-экспертами для установления этого довольно сомнительного «эмпирического факта».

По моим «социологическим» данным, АТМ-адепты в данном случае намеренно «замазывают» очень существенное различие между языком абстрактной теории множеств и учением Кантора о трансфинитных порядковых и количественных «числах», т.е. о трансфинитных ординалах и трансфинитных кардиналах Г.Кантора. Язык теории множеств (элемент, множество, принадлежность элемента множеству, отображение, эквивалентность/неэквивалентность множеств и т.п.) действительно стал универсальным математическим языком и в этом смысле действительно «изменил лицо всей математики ХХ века». Что касается «учения» о трансфинитных ординалах и кардиналах, то 90% реально работающих математиков (т.е. не АТМ-профессионалов) забывают это «учение» на следующий день после сдачи экзамена по теории функций действительной переменной, включающего один-два вопроса по АТМ. - Забывают по причине абсолютной бесполезности этих «ординалов и кардиналов» для потребностей реальной (т.е. «работающей», по терминологии Дэвиса и Херша) математики. Из оставшихся - 9% математиков категорически не приемлют это «учение» (см. Список-1 анти-канторианцев, выше), а последний 1% и составляют АТМ-адепты или, по терминологии академика В.И.Арнольда, бурбакисты, «которые способны лишь учить ... следующие поколения формальному манипулированию абстрактными понятиями, оказывать на (заведомо неслабоумных) студентов зомбирующее и оглупляющее давление, превращая их в формальные машины, и реализуя такой тип формализованного образования, который является совершенно бесполезным для решения любых практических проблем и даже становится опасным для всего человечества, приводя к событиям типа Чернобыля» [14-17].

Следует подчеркнуть одну характерную для АТМ-методологии эпистемологическую деталь: приведенный выше Список-1 анти-канторианцев публикуется впервые и ничего подобного вы не найдете ни в одном учебнике по АТМ, поскольку «левополушарная мафия» стремится оградить свою паству от всякой информации о своих выдающихся и непримиримых оппонентах. Я уверен, что если бы первокурсников знакомили со Списком-1 до изложения основ «Учения о трансфинитном» Г.Кантора и аксиоматики АТМ, этот Список-1 пришлось бы расширять существенно и постоянно.

И куда только смотрит Комиссия РАН по борьбе с лже-наукой?!


^ ЛОЖЬ-2. САМАЯ ЭФФЕКТИВНАЯ PR-АКЦИЯ В ИСТОРИИ НАУКИ.


Что общего между исполненной кастового высокомерия великосветской дамой (в бытность - легкого поведения), и современной АТМ? – И та, и другая всеми способами стараются избавиться от своего «неудобного» прошлого. Для великосветской дамы это обычно стоит немалых денег, для современной АТМ это не стоило практически ничего, благодаря одной из самых эффективных PR-акций, когда-либо реализованных в тысячелетней истории науки. Ничего подобного не снилось даже современным профессиональным PR-технологам: никому из них еще не удавалось изменить господствующую социальную парадигму на прямо противоположную с помощью одного-единственного удачного эпитета!

Как уже отмечалось, все канторианцы и АТМ-специалисты прекрасно понимали и (молча!) понимают сегодня, что именно актуализация бесконечных множеств породила серию фатальных противоречий и парадоксов в теории множеств. Поэтому, в середине ХХ века канторовская теория множеств, основанная на концепции АБ, была объявлена «наивной» [6, 18], дабы не отбрасывала свою компрометирующую «тень» на современную, «не-наивную» аксиоматическую теорию множеств, а сам термин «АБ» был выведен за рамки респектабельной мета-математической науки: упоминать АБ в монографиях и учебниках по мета-математике и АТМ «сделалось» неприличным, а проблема парадоксов была «решена» согласно хорошо известному в «определенных кругах» принципу: «нет термина – нет и проблемы».

Это был блестящий пиар-ход, в основе которого лежал вопиюще лже-научный, полу-криминальный «метод решения» фундаментального научного вопроса о логической природе математической бесконечности. И куда только смотрит Комиссия РАН по борьбе с лже-наукой?!.

Ни одному математику никогда не придет в голову назвать «за давностию лет», например, геометрию Евклида или дифференциальное-интегральное исчисление Ньютона-Лейбница наивными теориями и запретить использование в своей науке таких, например, терминов, как "параллельные прямые", "бесконечно малая", "дифференциал", "производная" и т.п. С этой точки зрения, современная АТМ является, пожалуй, единственной наукой, которая вот уже почти полвека официально "открещивается" от наследия своего "отца-основателя" Г.Кантора: "Канторовскую теорию множеств, - разъясняет, например, С.Клини [19], - в том виде, как она исторически возникла и как мы с ней знакомились в §33-34, называют "наивной" теорией множеств". По фатальным последствиям для любой науки, совершенно безразлично, повесить ли на нее ярлык "наивной", как это делает мэтр С.Клини и современная мета-математическая "общественность", или просто "лже-науки", как это было принято в недавнем СССР: ни один уважающий свое научное реноме (а, главное, свое академическое кресло) мета-математический профессор уже не будет знакомить своих студентов даже с основами такой "наивной" лженауки, а это означает, что через 2-3 научных поколения (т.е. через 10-15 лет) даже профессиональные мета-математики (не говоря уже обо всех прочих "непрофессионалах") будут иметь весьма смутное представление об истинных "источниках и составных частях" Третьего Великого Кризиса оснований математики, «который продолжается до сих пор» [6].

Следует заметить, что указанная PR-акция содержала значительную долю мета-математического цинизма: все пороки (противоречия и парадоксы), связанные с очевидной противоречивостью понятия АБ, современная АТМ приписала «наивной» теории множеств Г.Кантора, однако, с другой стороны, из этой «наивной» теории современная АТМ позаимствовала всего лишь один, но «краеугольный (!) камушек» – теорему о несчетности континуума, доказательство которой основано на использовании ... очевидно-противоречивого понятия АБ. И куда только смотрит Комиссия РАН по борьбе с лже-наукой?!.


^ ЛОЖЬ-3. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ КАК ФИЛОСОФСКИЕ «ПРИБАМБАСЫ» ДОКАЗАТЕЛЬСТВ МЕТА-МАТЕМАТИЧЕСКИХ.


Согласно «устоявшемуся» мнению современных мета-математических и АТМ-экспертов, наиболее определенно выраженному С.Феферманом [23], «понятия потенциальной и актуальной бесконечности относятся к неформальному, философскому уровню и потому вообще не употребляются в современных аксиоматических системах, хотя некоторые аксиомы обосновываются допущением актуально-бесконечного». По поводу особенностей своей новой Операциональной Теории Множеств Феферман признает, что она «явно включает в себя форму существования актуальной бесконечности». Однако, суммируя свое отношение к АБ, он утверждает, что «концепция АБ не является частью математики».

- Довольно странная позиция. Конечно, любую аксиому можно «обосновывать» и философски, и эмпирически, и психологически, и юридически, и т.п. Вопрос в том, используется ли это обоснование в самой формальной системе? Если используется, то оно должно быть явно сформулировано и зафиксировано в аксиоматике данной формальной системы, иначе такая система не является формальной. Если не используется, то дедуктивные выводы из данной системы аксиом не могут зависеть ни от каких вне-системных «обоснований». С этой точки зрения, явное включение <в любую АТМ> некой «формы существования актуальной бесконечности», которая «не является частью математики» представляется очевидной логической несуразностью. Как установить факт (как правило, неявного, основанного на различных «фигурах умолчания» [11]) использования АБ в АТМ? – Для этого достаточно заменить «обоснование» на основе «допущения АБ», на контрадикторное обоснование на основе «допущения не-АБ», т.е. ПБ. Очевидно, что в результате такой замены «обоснований», значительная часть наиболее важных АТМ-конструкций (канторовское доказательство существования несчетных множеств, различение бесконечных множеств по их мощности, теория порядковых и количественных трансфинитных чисел и т.п.) окажется нереализуемой в рамках АТМ и просто потеряет всякий смысл. Это означает, что «допущение АБ» представляет собой не философское обоснование «некоторых аксиом АТМ», которое не является «частью математики», а необходимое условие доказательства (дедукции) большинства формальных теорем АТМ, именно с точки зрения классической логики и математики. А математика, как известно, тем и отличается от прочих наук, что в ней все необходимые условия доказательства любой теоремы формулируются явно (если, конечно, они сами уже не «выписаны» явно в качестве аксиом или определений данного раздела математики), а не подразумеваются на уровне философских «прибамбасов» мета-математических и АТМ-доказательств, не являющихся «частью математики». И куда только смотрит Комиссия РАН по борьбе с лже-наукой!?.


^ ЛОЖЬ-4. ЕСЛИ КОНКУРЕНТ НЕ СДАЕТСЯ, ЕГО УНИЧТОЖАЮТ.


Как справедливо заметил Петр Вопенка, «теория множеств, чья энергия была направлена на актуализацию потенциальной бесконечности, оказалась в конечном счете неспособной устранить потенциальность» [24]. В этом утверждении есть только одна неточность. Действительно, АТМ не смогла «устранить потенциальность» с помощью научной методологии, поскольку в рамках науки «устранить» какую-либо концепцию (или понятие) можно только одним способом – доказав противоречивость этой концепции (здесь - понятия ПБ). Будучи не в состоянии доказать противоречивость понятия ПБ, АТМ пошла по другому пути. Как уже говорилось, АТМ-адепты объявили проблему легитимности использования АБ в математике философской проблемой. Есть сильное подозрение, что основной причиной такого «выдавливания» АБ в область беспредметных философских «дискурсов» явилась не классическая логика, и даже не мета-математическая логика, а профессиональная АТМ-интуиция, которая на уровне спинного мозга ощущает опасность, связанную с возможностью формального, строгого определения понятия АБ: если такое определение будет однажды дано, противоречивость понятия АБ станет слишком очевидной и за рамками АТМ-«клана», а это ставит под угрозу неплохо «фондируемое» и ставшее привычным благолепное благополучие АТМ-завсегдатаев канторовского «трансфинитного рая». С другой стороны, согласно Аристотелю, АБ есть НЕ-ПБ. Это значит, что если не дай бог, кто-то даст формальное, строгое определение понятия ПБ, то любой студент может применить к этому определению ПБ операцию отрицания и получить строгое определение понятия АБ с теми же катастрофическими последствиями для благополучия АТМ-адептов. Во избежание подобной вполне реальной опасности, современная АТМ «выдавила» в область беспредметных философских «дискурсов» и понятие ПБ, дабы не провоцировало очевидных и не очень приятных вопросов о легитимности логических оснований того трансфинитного «рая, который создал для <АТМ-адептов - АЗ> Георг Кантор» [1]. Таким полу-криминальным, лже-научным способом современная АТМ «расправилась» со своим основным оппонентом – с понятием ПБ-множества. И куда только смотрит Комиссия РАН по борьбе с лже-наукой!?.

Однако, последняя PR-акция современной АТМ оказалась позорно провальной, поскольку совершенно строгое определение понятия ПБ было дано ... еще Аристотелем в IV веке до н.э..

Остановимся коротко на этом определении.


3. СТРОГОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ (АРИСТОТЕЛЬ, IV век до н.э.)


Более двух тысячелетий тому назад великий Аристотель дал следующее совершенно строгое, хотя и вербальное, определение понятия ПБ [25].


^ D1) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПБ (АЗ: вставки в квадратных скобках принадлежат мне): "...бесконечное существует через полагание одной вещи [n+1], взятой после [>] другой [n]; то, что полагается всегда остается конечным [n < ], но всегда другим и другим [n  ]".


Это вербальное определение Аристотеля в переводе на современный формальный язык выглядит следующим образом.


^ D2) АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПБ.

(А1) Существует вещь ‘0’ (поскольку любая, вполне-упорядоченная, конечная последовательность вещей всегда содержит первую вещь; мы будем обозначать эту первую вещь символом, скажем, ‘0’).

(А2) [если n есть вещь (натуральное число) то n+1 также есть вещь (натуральное число)], причем [n+1 > n].

(А3) Других вещей (натуральных чисел), отличных от тех, которые определены аксиомами (А1)&(А2), не существует.

Как нетрудно заметить, аксиомы (А1)&(А2)&(А3) представляют собой строгое, формальное, аксиоматическое, индуктивное определение обычного ряда обычных конечных натуральных чисел:


1, 2, 3, ..., n, ... (*)


а сами утверждения (А1)-(А3) являются первыми тремя аксиомами формальной арифметики Пеано [18].

Сюда же следует добавить фундаментальное характеристическое свойство потенциально-бесконечного ряда (*), которое в известном смысле можно рассматривать как определение понятия ПБ, эквиполлентное определению аксиоматическому.

  1   2   3   4

Поиск по сайту:



База данных защищена авторским правом ©dogend.ru 2019
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Уроки, справочники, рефераты