Домой

Учебно-исследовательская работа «Четыре способа решения одной геометрической задачи»




Скачать 86.17 Kb.
НазваниеУчебно-исследовательская работа «Четыре способа решения одной геометрической задачи»
Дата10.01.2013
Размер86.17 Kb.
ТипИсследовательская работа
Подобные работы:


Министерство образования Республики Башкортостан

Отдел образования администрации муниципального района Хайбуллинский район

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа села Подольск


Учебно-исследовательская работа

«Четыре способа решения одной

геометрической задачи»


Выполнили: Галиуллин Рустам 11ф класс

Тулябаева Айгуль 11ф класс

Научный руководитель: Каипова Минзаля Мухаметовна


Подольск

2007 год

Введение:

На вступительных экзаменах в ВУЗы абитуриенты чаще всего решают планиметрические задачи на вычисление, используя алгебру и тригонометрию, т.е. алгебраическим и тригонометрическим методами. Но как будет видно из нашей работы, геометрические решения могут оказаться проще и изящнее, хотя к ним можно прийти, только догадавшись привести некоторые вспомогательные линии.

Журнал «Математика в школе» ежегодно публикует материалы письменных экзаменов по математике в ВУЗы страны. Среди них встречаются интересные задания, дающие возможность различных подходов. В качестве примера рассмотрим планиметрическую задачу, предлагавшуюся на письменном экзамене по математике в МГУ на географический факультет. С ней справились лишь 16% абитуриентов, поступавших на этот факультет.


Задача:

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и одинаковую длину, равную 4. Найти стороны треугольника АВС.

Дано: ∆ АВС, ВЕ - bс, АD - ma ВЕ┴ АD, ВЕ=АD=4

Найти АВ, АВ и АС

Решение:

Приступая к решению задачи, сразу же замечаем, что если О – точка пересечения биссектрисы ВЕ и медианы AD, то прямоугольный треугольник АВО равен прямоугольному треугольнику DBO(плакат №1). Поэтому АО равен ОD и они равны2 и АВ равны ВD, так что ВС=2∙АВ.

Далее решение задачи можно продолжить по-разному

.


Рисунок №1.


B




α α

с=х

х х

а = 2х


O

А D

c1=2y

х

E a1=2y


b С


Способ I (аналитический).

ma АD и bс ВЕ ∆АВС выразим через длины а, b, c сторон ∆ по формулам, известным из курса планиметрии:


ma = ½ √2 (b2 + с2) – а2 , тогда

ma2 = ¼ ∙ [2 (b2 + с2) – а2] = b2 + с2/2 – а2/4

lb =√ ас – аbcb

тогда lb2 = ас – аbcb.


Таким образом, получаем

АD2 = b2 + с2/2 - а2/4,

ВЕ2 = ас – а1c1

где а1 = СЕ, c1 = АЕ.


Пусть АВ = х, АЕ = у, тогда ВС = 2х, СЕ = 2у (по свойству bс ∆ АВ : ВС = АЕ : ЕС, х : 2х = АЕ : ЕС => АЕ = ЕС = 1:2), АС = 3у.


Получим систему уравнений:

х2 + (3у)2/2 – (2х)2/ 4 = 42,

2х ∙х – 2у ∙у = 42

х2 + 9х2/2 – х2 = 16, / ∙2

х2 - у2 = 8

х2 + 9у2 – 2х2 = 32,

х2 - у2 = 8

+ - х2 + 9у2 = 32,

х2 - у2 = 8

2 = 40

у2 = 5

у = √5

х2 = 8 + у2

х2 = 8+ 5

х2 = 13

х = √13


Значит АВ = √13 , ВС = 2√13 , АС = 3 √5.


Способ II (тригонометрический, с применением теоремы косинусов).


Обозначим АВ=Х, <АВС=2α, ВС=2Х. По теореме cos из ∆АВЕ и ∆ВСЕ находим


АЕ2 = АВ2 + ВЕ2 – 2АВ∙ВЕ∙ cos α,

CE2 = ВЕ2 + ВС2 – 2ВЕ ∙ВС ∙ cos α

АЕ2 = х2 + 42 – 2∙х∙4∙cos α,

СЕ2 = 44 + (2х)2 - 2∙4∙2х∙cos α

АЕ2 = х2 + 16 + 8х∙cos α,

СЕ2 = 4х2 + 16 – 16х∙cos α

По свойству bс ∆ АВ:ВС=АЕ:ЕС

х:2х = АЕ:ЕС

АЕ:ЕС=1:2

тогда СЕ = 2АЕ или СЕ2 = 4АЕ2, то




АЕ2 = х2 + 16 – 8х ∙ cos α, / ∙4

4АЕ2 = 4х2+ 16 – 16х ∙ cos α


__ 4АЕ2 = 4х2 + 64 – 32х ∙ cos α

4АЕ2 = 4х2 +16 – 16х ∙ cos α

0 = 48 – 16х ∙ cos α

16х ∙ cos α = 48 /:16

х ∙ cos α = 3,

но cos α = ОВ/АВ= ОВ/х , тогда х ∙ ОВ/х = 3

значит ВО = 3 и ОЕ = 4-3 = 1.


Остается, пользуясь теоремой Пифагора вычислить стороны ∆АВС.

АВ = √АО2 + ВО2 = √22 + 32 = √4+9 = √13


ВС = 2АВ = 2√13


АЕ = √АО2 + ОЕ2 = √22 + 12 = √4 + 1 = √5


АС = 3АЕ = 3√5


Рассмотрим теперь два способа, которые относятся к одному методу – геометрическому.


Рисунок №2


B






3


А 2 O 2 D



1



E


С


Способ III (c помощью площадей).


Т.к. АО = ОD = 2, ВЕ = 4 и АD┴ВЕ, то S каждого из ∆ ВАЕ и ВDЕ равна 4 (рисунок 2).


` S∆ВАЕ= ВЕ ∙ АО/2 = 4∙2/2 = 4


S∆ВDЕ= ВЕ ∙ ОD/2 = 4∙2/2 = 4


S∆СDЕ также равна 4, т.к. ma Е D делит ∆ВСЕ на два равновеликих ∆. Значит, S∆АВС= 12:


S∆АВС= S∆ВАЕ + S∆ВDЕ + S∆СDЕ = 12


Поскольку АD - ma ∆АВС, то S∆АВD = 6:


S∆АВD = S∆АВС/2 = 12: 2 = 6.


Остается применить формулу S ∆:


S∆АВD = АD ∙ ВО/2= 2АО ∙ ВО = АО ∙ ВО.


Получим АО ∙ ВО = 6, но АО = 2, значит ВО = 3, тогда ОЕ = 4 - 3 = 1.


Стороны ∆АВС найдем по теореме Пифагора (см. Способ II).


Рисунок №3


B






3


А 2 O 2 D



1



E

К

С


Способ IV (по теореме о средней линии ∆).


Проведем среднюю линию DК ∆ВСЕ (рисунок 3).


Т.к. DК || ВЕ и АО = ОD, то ОЕ – средняя линия ∆АDК.


Следовательно, ОЕ = ½ DК и DК = ½ ВЕ, т.е. ОЕ = ¼ ВЕ.


Т.к. ВЕ = 4, то ОЕ = ¼ ∙ 4 = 1 и ВО = 4 – 1 = 3.


Стороны ∆АВС найдем по теореме Пифагора (см. Способ II).


Как видим, вспомогательные построения привели к простому, чисто геометрическому способу решения задачи.


Заключение:

Кроме приведенных решений можно отыскать и другие, но, наверное, более сложные, чем геометрические способы.

Обычно основным методом решения геометрических задач в условиях экзамена является аналитический метод, но очень важно, чтобы учащиеся владели геометрическими приемами, умели найти наиболее простое и красивое решение с помощью дополнительных построений. Даже решая планиметрическую задачу алгебраическим методом, следует пользоваться и геометрическими соображениями, благодаря которым часто удается упростить решение.

Разбор задач, допускающих ряд решений – увлекательное занятие, требующие знаний всех разделов школьной математики. Длительная работа над одной и той же задачей часто полезнее, чем решение нескольких задач.


Литература:

  1. Математика в школе. 2003, №1, стр.40, задача №25.

  2. Геометрия 7-9. Л.С.Атанасян и другие. Издательство «Просвещение» 1990г.

  3. Математика для выпускников и абитуриентов. Г.С.Тимофеев. «Феникс» 2005г. Ростов- на- Дону.

  4. Готовимся к экзамену по математике. Д.Т.Письменный. «Айрис» 1997г. Москва.



Рецензия:

  1. Работа посвящена решению одной геометрической задачи несколькими способами: аналитическим, тригонометрическим и геометрическим. Все способы подробно расписаны, приведены все применяемые формулы и свойства геометрических фигур, показаны отличительные черты каждого метода, их сильные и слабые стороны.

  2. При выполнении работы ребятам пришлось повторить курс планиметрии, дополнительно рассмотреть некоторые вопросы теории, углубить и систематизировать пройденный материал.

  3. Данная работа способствует обобщению, систематизации и углублению знаний учащихся, развивает логическое мышление, познавательную активность, смекалку, умение рассуждать, доказывать, делать выводы, а также формирует уверенность в собственных силах и уважение к себе как к личности.

  4. Таким образом, считаю, что учащиеся выполнили свою работу на достаточно – научном уровне и при успешной защите своей работы можно поставить оценку «отлично».



Руководитель работы учитель 1 категории

Каипова М.М.

Скачать 86.17 Kb.
Поиск по сайту:



База данных защищена авторским правом ©dogend.ru 2014
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Уроки, справочники, рефераты